Question

7．设f（x）=|x-1|-2|x+1|的最大值为m．
（Ⅰ）求m；
（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），$\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}+{b^2}=m$，求ab+bc的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值的意义化简f（x），画出f（x）的图象，由图象求出f（x）的最大值；
（Ⅱ）化简等式，利用基本不等式即可求出ab+bc的最大值为．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=|x-1|-2|x+1=$\left\{\begin{array}{l}{x+3，x≤-1}\\{-3x，-1＜x＜1}\\{-x-3，x≥1}\end{array}\right.$；
画出f（x）的图象如图所示，
∴函数f（x）的最大值为m=2；…（5分）
（Ⅱ）∵$\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}+{b^2}=m$，
∴2m=a²+2b²+c²=（a²+b²）+（b²+c²）≥2（ab+bc），
∴ab+bc≤2，
∴ab+bc的最大值为2．…（10分）

点评 本题考查了绝对值函数的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是基础题目．