Question

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，并且对任意的n∈N^*，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设A={a₁，a₂，…，a_n，…}，b_n=2×3^n-1，数列{b_n}的前n项和为T_n．
①求证：对任意的n∈N^*，都有b_n∈A；
②设数列{b_n}的第n项是数列{a_n}中第r项，求

lim

n→∞

r

Tn

的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a1=

1

8

(a1+2)2，a_n+1-a_n=4，由此能求出a_n=4n-2．
（2）①要证对任意的n∈N^*，都有b_n∈A，只要证：对任意的n∈N^*，存在m∈N^*，使得3^n-1+1=2m．
②由已知条件得2×3^n-1=4r-2，由此求出T_n=3ⁿ-1，从而能求出

lim

n→∞

r

Tn

的值．

解答： 本题满分（20分），第1小题满分（10分），第2小题满分（10分）
（1）解：由题意

an+2

2

=

2Sn

，a_n＞0，得S_n=

1

8

（a_n+2）²，
当n=1时，a1=

1

8

(a1+2)2，解得a₁=2，（2分）
当n≥2时，S_n+1=

1

8

（a_n+1+2）²．
∴a_n+1=S_n+1-S_n=

1

8

[(an+1+2)2-(an+2)2]，
整理，得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0．（4分）
由题意知a_n+1+a_n≠0，∴a_n+1-a_n=4．（2分）
∴数列{a_n}为首项为2，公差为4的等差数列，即a_n=4n-2．（2分）
（2）①证明：要证对任意的n∈N^*，都有b_n∈A，
只要证：对任意的n∈N^*，存在m∈N^*，使得2×3^n-1=4m-2，即3^n-1+1=2m．
∵3^n-1是奇数，∴3^n-1+1为偶数，（2分）
∴存在正整数m=

3n-1+1

2

，使得2×3^n-1=4m-2．（3分）
∴数列{b_n}中的所有项都在数列{a_n}中，即B⊆A．
∴对任意的n∈N^*，都有b_n∈A．
②∵数列{b_n}的第n项是数列{a_n}中第r项，
∴2×3^n-1=4r-2，
解得r=

3n-1+1

2

，
∴T_n=3ⁿ-1，（3分）
∴

lim

n→∞

r

Tn

=

lim

n→∞

3n-1+1

2×(3n-1)

=

1

6

．（2分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查关于数列的证明和极限的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．