Question

已知函数f（x）=4^x+m•2^x+1．
（1）若m=-

5

2

，求函数f（x）的零点；
（2）设t=2^x，试将f（x）表示为t的函数g（t），并求当x∈[-1，1]时g（t）的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若m=-

5

2

，由f（x）=0，即可求函数f（x）的零点；
（2）根据一元二次函数的性质即可得到结论．

解答： 解：（1）∵m=-

5

2

，则f（x）=4^x-

5

2

•2^x+1，
∴f(x)=0?2x=

1

2

或2?x=±1，
故f（x）的零点为-1，1
（2）∵t=2^x，∴g（t）=t²+mt+1，
则对称轴为x=-

m

2

，
∵x∈[-1，1]，∴根据一元二次函数的单调性的性质可得：
g(t)min=

5+2m，m≤-4 1- m2 4 ，-4＜m＜-1 5+2m 4 ，m≥-1

点评：本题主要考查函数零点的求解以及一元二次函数最值的求解，利用换元法结合一元二次函数的图象是解决本题的关键．