Question

10．若过原点O的直线与圆C：（x-2）²+y²=1相交于P、Q两点．
（1）求$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CQ}$的取值范围；
（2）求△CPQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）直线l的斜率存在，设方程为y=kx，代入（x-2）²+y²=1，利用韦达定理，即可求$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CQ}$的取值范围；（2）求出圆心到直线的距离，弦长，得到三角形CPQ的面积的表达式，利用基本不等式可得结论．

解答 解：（1）由题意，直线l的斜率存在，设方程为y=kx，代入（x-2）²+y²=1，
可得（k²+1）x²+4x+3=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{4}{{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3}{{k}^{2}+1}$
∴$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CQ}$=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=（x₁-2）（x₂-2）+k²x₁x₂，
=（k²+1）x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=7+2×$\frac{4}{{k}^{2}+1}$，
∵k²≥0，
∴7＜$\overrightarrow{CP}$•$\overrightarrow{CQ}$≤15；
（2）圆C：（x-2）²+y²=1的圆心（2，0），半径为1，
圆心到直线y=kx的距离d=$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，半弦长为：$\sqrt{1-{d}^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$，
∴△CPQ的面积S=$\frac{1}{2}•$2$\sqrt{1-{d}^{2}}$•d=$\sqrt{（1-{d}^{2}）{d}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$
故当1-d²=d²，即d²=$\frac{1}{2}$时，S取得最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．