Question

2．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，若cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，试求下列各式的值：
（1）sinα•cosα；
（2）sinα+cosα；
（3）$\frac{2sinαcosα-cosα+1}{1-tanα}$．

Answer 1

分析 根据同角三角函数关系式化简计算即可．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴cosα＞0，sinα＞0
∵cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
sin²α+cos²α=1，
tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=2．
解得：cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
（1）∴sinαcosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2}{5}$．
（2）∴sinα+cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
（3）$\frac{2sinαcosα-cosα+1}{1-tanα}$=$\frac{\frac{4}{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}+1}{1-2}$=$\frac{\sqrt{5}-9}{5}$

点评 本题主要考察了同角三角函数关系式和万能公式的应用，属于基本知识的考查．