Question

20．《九章算数》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀（即每节容量成等差数列），问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为（　　）

• A． $\frac{7}{2}$
• B． $\frac{37}{33}$
• C． $\frac{10}{11}$
• D． $\frac{67}{66}$

Answer 1

分析 由题意知九节竹的容量成等差数列，至下而上各节的容量分别为a₁，a₂，…，a_n，公差为d，利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出中间一节的容量．

解答 解：由题意知九节竹的容量成等差数列，至下而上各节的容量分别为a₁，a₂，…，a_n，公差为d，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{3}=3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=4}\\{{{a}_{6}+a}_{7}+{a}_{8}+{a}_{9}=4{a}_{1}+26d=3}\end{array}\right.$，
解得a₁=$\frac{95}{66}$，d=-$\frac{7}{66}$，
∴中间一节的容量a₅=a₁+4d=$\frac{95}{66}-\frac{28}{66}$=$\frac{67}{66}$．
故选：D．

点评 本题考查等差数列的中间项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．