Question

2．已知函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx，f（0）=2，f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）的单调递增区间
（3）对于角α，β，若有α-β≠kπ，k∈Z，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=2，f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$可得：a=1，b=2，于是可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，从而可求f（x）的最大值与最小值；
（2）由（1）得f（x）$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，即可求得其单调增区间；
（3）f（α）=f（β），可得2α+$\frac{π}{4}$=2kπ+（2β+$\frac{π}{4}$）或2α+$\frac{π}{4}$=2kπ+π-（2β+$\frac{π}{4}$），得到α+β的值，从而求得tan（α+β）的值．

解答 解：（Ⅰ）由f（0）=2，f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$可得：a=1，b=2，
∴f（x）=2cos²x+2sinxcosx
=sin2x+cos2x+1
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
∴当x=$\frac{π}{8}$+kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值，为$\sqrt{2}$+1；
当x=$\frac{5π}{8}$+kπ（k∈Z）时，f（x）取得最小值，为-$\sqrt{2}$+1；
（Ⅱ）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
则-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z．
（3）∵f（α）=f（β），∴sin（2α+$\frac{π}{4}$）=sin（2β+$\frac{π}{4}$）．
∴2α+$\frac{π}{4}$=2kπ+（2β+$\frac{π}{4}$）或2α+$\frac{π}{4}$=2kπ+π-（2β+$\frac{π}{4}$），
∴α-β=kπ（舍去）或α+β=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，∴tan（α+β）=tan（kπ+$\frac{π}{4}$）=1，
即：tan（α+β）=1．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的单调性与最值，突出辅助角公式的应用，考查分析与应用能力，属于中档题．