Question

自平面上一点O引两条射线OA，OB，点P在OA上运劝，点Q在OB上运动且保持|

PQ

|为定值a（点P，Q不与点O重合），已知∠AOB=60°，a=

7

，则

PQ • PO

| PO |

+

3 QP • QO

| QO |

的取值范围为（　　）

• A、（

  1

  2

  ，

  7

  ]
• B、（

  7

  2

  ，

  7

  ]
• C、（-

  1

  2

  ，

  7

  ]
• D、（-

  7

  2

  ，7]

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：作图，记向量

PQ

与

PO

的夹角为α，0°＜α＜120°可得向量

QP

与

QO

的夹角为120°-α，可得

PQ • PO

| PO |

+

3 QP • QO

| QO |

=|

PQ

|cosα+3|

QP

|cos（120°-α），由三角函数的公式化简结合角的范围可得所求．

解答：解：（如图）记向量

PQ

与

PO

的夹角为α，0°＜α＜120°
可得向量

QP

与

QO

的夹角为180°-（60°+α）=120°-α，
∴

PQ • PO

| PO |

+

3 QP • QO

| QO |

=|

PQ

|cosα+3|

QP

|cos（120°-α）
=

7

cosα+3

7

cos（120°-α）
=

7

（cosα-

3

2

cosα+

3 3

2

sinα）
=

7

（-

1

2

cosα+

3 3

2

sinα）
=

7

•

7

sin（α-β）
=7sin（α-β），其中tanβ=

1

3 3

=

3

9

，
∵tanβ=

3

9

＜

3

3

，∴0°＜β＜30°，
又∵0°＜α＜120°，∴-30°＜α-β＜120°
∴-

1

2

＜sin（α-β）≤1
∴-

7

2

＜7sin（α-β）≤7，
∴

PQ • PO

| PO |

+

3 QP • QO

| QO |

的取值范围为（-

7

2

，7]
故选：D

点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角函数的化简及应用，属中档题．