Question

F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：y=2x+5与椭圆交于P₁，P₂两点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点恰好落在椭圆C的左准线l′上
（Ⅰ）求椭圆C的左准线方程；
（Ⅱ）已知

F1P1

•

OF2

，-

5

9

a2，

F2P2

•

OF2

成等差数列，求椭圆C的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出椭圆C的中心关于直线l的对称点的坐标，即可求椭圆C的左准线方程；
（Ⅱ）把y=2x+5代入椭圆方程，利用韦达定理，结合

F1P1

•

OF2

，-

5

9

a2，

F2P2

•

OF2

成等差数列，椭圆C的左准线方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设对称点为（x，y），则

y x •2=-1 y 2 =2• x 2 +5

，
∴x=-4，y=2，
∴椭圆C的左准线方程为x=-4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

a2

c

=4
设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）
把y=2x+5代入椭圆方程得：（4a²+b²）x²+20a²x+25a²-a²b²=0
∴x₁+x₂=-

20a2

4a2+b2

∵

F1P1

•

OF2

，-

5

9

a2，

F2P2

•

OF2

成等差数列
∴2×（-

5

9

a2）=

F1P1

•

OF2

+

F2P2

•

OF2

，
∴2×（-

5

9

a2）=（x₁+c）c+（x₂-c）c=（x₁+x₂）c
∴2×（-

5

9

a2）=（-

20a2

4a2+b2

）c
即

a2

9

=

2ca2

4a2+b2

把

a2

c

=4代入上式解得：a²=2b²，
又a²=b²+c²=b²+

a4

16

∴a²=8，b²=4
∴椭圆方程：

x2

8

+

y2

4

=1．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查等差数列的性质，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．