Question

设函数f（x）=x+ax²+blnx，其对应的图象为曲线C；若曲线C过点P（1，0），且在点P（1，0）处的切线斜率k=2，
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）证明不等式f（x）≤2x-2．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的几何意义及与切线斜率的关系，列出不等式解得a、b即可；
（2）构造函数g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，利用导数求得g（x）的最大值为0，即得g（x）≤0即f（x）≤2x-2．

解答： 解：（1）f′（x）=1+2ax+

b

x

由已知条件得

f(1)=0 f′(1)=2

即

1+a=0 1+2a+b=2

解得a=-1，b=3，
∴f（x）=x-x²+3lnx．
（2）f（x）的定义域为（0，+∞）
由（1）知f（x）=x-x²+3lnx
设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx
则g′（x）=-1-2x+

3

x

=-

(x-1)(2x+3)

x

，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，
当x＞1时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
而g（1）=0，
故当x＞0时，g（x）≤0即f（x）≤2x-2．

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值；会将解不等式问题转化为求函数最值问题解决，考查对构造函数及划归思想的运用能力，属难题．