Question

如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CB，对角线AC与BD交于O，∠ACD=60°，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点．
（1）求证：△PQS是等边三角形；
（2）若AB=8，CD=6，求△PQS的面积；
（3）若△PQS与△AOD的面积比为4：5，求CD：AB的值．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例定理

专题：选作题,立体几何

分析：（1）由于梯形ABCD是等腰梯形∠ACD=60°，可知△OCD与△OAB均为等边三角形．连接CS，BP根据等边三角形的性质可知△BCS与△BPC为直角三角形，再利用直角三角形的性质可知QS=BP=

1

2

BC，由中位线定理可知，QS=QP=PS=

1

2

BC，故△PQS是等边三角形；
（2）根据等腰梯形的性质及∠AOD=120°可求出等边三角形的边长，从而可得出答案．
（3）设CD=a，AB=b（a＜b），根据题意表示出两面积的比，从而可得出答案．

解答： （1）连接CS
∵ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，
∴AO=BO，CO=DO．
∵∠ACD=60°，∴△OCD与△OAB均为等边三角形．
∵S是OD的中点，∴CS⊥DO．
又SP是△OAD的中位线，∴SP=

1

2

AD=

1

2

BC．
∴SP=PQ=SQ．
故△SPQ为等边三角形．
（2）作DE⊥AB，垂足为E，
∵AB=8，CD=6，
∴AE=1，BE=8-1=7，
∴DE=BE•tan60°=7

3

，
在Rt△ADE中，AD=2

37

，
∴PS=PQ=SQ=

37

，
∴S_△PQS=

37 3

4

（3）设CD=a，AB=b（a＜b），
BC²=SC²+BS²=a²+b²+ab，
∴S_△SPQ=

3

16

（a²+ab+b²），
又△PQS与△AOD的面积比为4：5，S_△AOD=S_△BOC=

3

4

ab，
∴5×

3

16

（a²+ab+b²）=4×

3

4

ab，
即5a²-11ab+5b²=0，
故

CD

AB

=

11- 21

10

点评：本题主要考查等腰梯形及直角三角形的性质，三角形中位线定理．