Question

已知函数f（x）=x²+（lga+2）x+lgb满足f（-1）=-2，且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．
（1）求实数a，b的值；
（2）y=

f(x)+(2k-4)x+k-1

的定义域为R，求k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（-1）=-2列一个关于a，b的方程，再根据f（x）≥2x恒成立，利用二次函数的性质列出另一个方程（不等式成立时只能取等号），联立解方程组即可；
（2）由题意，根号下的式子≥0在实数集上恒成立，经化简可知为二次函数函数值大于或等于0在R上恒成立，借助判别式容易解决．

解答： 解：（1）由f（-1）=-2，知lgb-lga+1=0，∴

a

b

=10．
又f（x）≥2x恒成立，所以x²+x•lga+lgb≥0恒成立，
故△=（lga）²-4lgb≤0．将

a

b

=10代入得：
（lgb）²-2lgb+1≤0，即（lgb-1）²≤0，即lgb=1．
故b=10，所以a=100．
（2）由（1）知f（x）=x²+4x+1，代入y=

f(x)+(2k-4)x+k-1

化简后得：
y=

x2+2kx+k

，因为该函数定义域为R，
所以x²+2kx+k≥0，x∈R恒成立，
根据二次函数的图象可知只需△=（2k）²-4k≤0即可，
解得0≤k≤1．
故k的取值范围是[0，1]．

点评：本题考查了不等式的恒成立问题，此类问题一般是转化为函数的最值问题来解，而研究函数的最值往往要利用导数研究单调性，这是一种常规思路；当然作为二次不等式在R上的恒成立，利用二次函数的性质结合图象、判别式等似乎更简单．