Question

椭圆的中心为原点O，一焦点为F（3，0），过焦点F引垂直于长轴的弦MN，已知从中心O看弦MN的视角等于从长轴端点看短轴的视角，求此椭圆的离心率和椭圆方程．

Answer 1

考点：椭圆的应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意画出几何图形，从中心O看弦MN的视角等于从长轴端点看短轴的视角可得：∠MON=∠BAC，由椭圆的对称性可知：∠MOF=∠OAC，从而解得b=c=3，进而解得a=3

2

，从而解得答案．

解答： 解：设椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，由于c=5，如图：
由题意可知：∠MON=∠BAC，
由椭圆的对称性可知：∠MOF=∠OAC，
∵MN⊥OA，F（3，0），
∴M（3，

b2

a

），
∴tan∠MOF=

MF

OF

=

b2 a

c

=

b2

ac

又tan∠OAC=

OC

OA

=

b

a

，
∴

b2

ac

=

b

a

，a=

b2+c2

=3

2

，
∴e=

c

a

=

3

3 2

=

2

2

，
椭圆的方程是：

x2

18

+

y2

9

=1．

点评：本题主要考查椭圆的几何性质和椭圆的标准方程，重点是利用好几何图形，属于中档题．