已知双曲线b2x2-a2y2=a2b2上有一点P.其焦点分别为F1.F2.且∠F1PF2=α.求证:S△F1PF2=b2cotα2．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知双曲线b²x²-a²y²=a²b²上有一点P，其焦点分别为F₁、F₂，且∠F₁PF₂=α，求证：S△F₁PF₂=b²cot

．

考点：双曲线的简单性质

专题：证明题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用双曲线的定义，结合余弦定理，可得|PF₁||PF₂|=

2b2

1-cosα

，利用S_△F1PF2=

|PF₁||PF₂|sinα，即可得出结论．

解答： 证明：由b²x²-a²y²=a²b²得：

=1，
∴|F₁F₂|=2c，且||PF₁|-|PF₂||=2a，
则|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=4a²．①
根据余弦定理|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cosα=4c²．②
②-①整理得：|PF₁||PF₂|=

2b2

1-cosα

，
∴S_△F1PF2=

|PF₁||PF₂|sinα=b²

sinα

1-cosα

=b²cot

…（12分）

点评：本题考查用双曲线的定义，余弦定理，考查三角形面积的计算，正确运用用双曲线的定义，余弦定理是关键．

练习册系列答案

68所名校图书小升初高分夺冠真卷系列答案

空气质量指数PM2.5（单位：μg/m³）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：

PM2.5日均浓度	0～35	35～75	75～115	115～150	150～250	＞250
空气质量类别	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染

从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图所示．
（1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；
（2）在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．

（1）设函数F（x）=（-x²-2x-1）e^-x，x∈R．求函数F（x）的单调递减区间；
（2）证明函数f(x)=

∫

-x

(ex+e-x)dx在R上是增函数．

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=

，b=2，且sinB+cosB=

，求角A，B，C的大小．

如图1，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2．将△ABD沿边AB折起，使得△ABD与△ABC成30°的二面角D-AB-C，如图2，在二面角D-AB-C中．

（1）求D、C之间的距离；
（2）求CD与面ABC所成的角的大小．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S是△ABC的面积，若

=(2cosB，1)，

=(-1，1)，且

∥

．
（Ⅰ）求tanB+sinB；
（Ⅱ）若a=8，S=8

若圆C以抛物线y²=4x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切，则该圆的标准方程是

．

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