Question

15．已知点A（1，0），直线l：x=-1，两个动圆均过点A且与l相切，其圆心分别为C₁、C₂，若动点M满足$2\overrightarrow{{C_2}M}=\overrightarrow{{C_2}{C_1}}+\overrightarrow{{C_2}A}$，则M的轨迹方程为y²=2x-1．

Answer 1

分析 由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y²=4x，利用$2\overrightarrow{{C_2}M}=\overrightarrow{{C_2}{C_1}}+\overrightarrow{{C_2}A}$，确定坐标之间的关系，即可求出M的轨迹方程．

解答 解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y²=4x，
设C₁（a，b），C₂（m，n），M（x，y），则
∵动点M满足$2\overrightarrow{{C_2}M}=\overrightarrow{{C_2}{C_1}}+\overrightarrow{{C_2}A}$，
∴2（x-m，y-n）=（a-m，b-n）+（1-m，2-n），
∴2x=a+1，2y=b+2，
∴a=2x-1，b=2y-2，
∵b²=4a，
∴（2y-2）²=4（2x-1），即（y-1）²=2x-1．
故答案为：y²=2x-1．

点评 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定坐标之间的关系是关键．