Question

20．已知函数f（x）=x³+3x-4．
（Ⅰ）判断f（x）的单调性并证明；
（Ⅱ）证明：曲线y=g（x）=f（x）+3a（x²-2x+4）（a∈R）在x=0处的切线过定点；
（Ⅲ）若g（x）在x=x₀处取得极小值，且x₀∈（1，3），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x），判断导函数的符号，得出函数的单调性．
（Ⅱ）化简函数g（x），求出导函数，求出切点与斜率，得到切线方程，然后推出定点．
（Ⅲ）利用已知条件，通过令h（x）=x²+2ax+（1-2a），列出不等式组，即可求解a的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+3＞0，
∴f（x）在定义域R上单调递增．                          …（2分）
（Ⅱ）g（x）=x³+3x-4+3a（x²-2x+4）=x³+3ax²+（3-6a）x+12a-4，
g′（x）=3x²+6ax+（3-6a），
由g（0）=12a-4，g′（0）=3-6a得
曲线y=g（x）在x=0处的切线方程为y=（3-6a）x+12a-4，
由此知曲线y=g（x）在x=0处的切线过点（2，2）．           …（7分）
（Ⅲ）由g?（x）=0得x²+2ax+（1-2a）=0，
∵g（x）在x=x₀处取得极小值，且x₀∈（1，3），
∴方程x²+2ax+（1-2a）=0较大的根在区间（1，3）内．
令h（x）=x²+2ax+（1-2a），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}-4（1-2a）＞0}\\{1＜-a＜3}\\{h（1）=1+2a+1-2a＞0}\\{h（3）=9+6a+1-2a＞0}\end{array}\right.$   解得-$\frac{5}{2}$＜a＜-$\sqrt{2}$-1，
∴a的取值范围是（-$\frac{5}{2}$，-$\sqrt{2}$-1）．       …（12分）

点评 本题考查函数的单调性以及函数的导数的应用，函数的极值，以及函数的零点的应用，考查计算能力．