Question

10．已知圆F₁：（x+1）²+y²=1，圆F₂：（x-1）²+y²=25，动圆P与圆F₁外切并且与圆F₂内切，动圆圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若曲线C与x轴的交点为A₁，A₂，点M是曲线C上异于点A₁，A₂的点，直线A₁M与A₂M的斜率分别为k₁，k₂，求k₁k₂的值．
（Ⅲ）过点（2，0）作直线l与曲线C交于A，B两点，在曲线C上是否存在点N，使$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{ON}$？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设P（x，y）、动圆P的比较为r，利用圆与圆的位置关系可知|PF₁|=1+r、|PF₂|=5-r，进而化简可知动圆圆心P的轨迹是以F₁（-1，0）、F₂（1，0）为焦点、长轴长为6的椭圆，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知A₁（-3，0）、A₂（3，0），通过设M（x，y），利用$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=及k₁k₂=$\frac{y-0}{x+3}$•$\frac{y-0}{x-3}$化简计算即得结论；
（Ⅲ）通过设过点（2，0）的直线l方程为x=my+2，并与曲线C方程联立，利用韦达定理及N（x₁+x₂，y₁+y₂）在曲线C上化简计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）依题意，F₁（-1，0），F₂（1，0），
设P（x，y），动圆P的比较为r，则|PF₁|=1+r，|PF₂|=5-r，
∴|PF₁|+|PF₂|=6，
∴动圆圆心P的轨迹是以F₁（-1，0）、F₂（1，0）为焦点，长轴长为6的椭圆，
则b²=a²-c²=9-1=8，
于是曲线C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（Ⅱ）由（I）可知A₁（-3，0），A₂（3，0），
设M（x，y），则$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，
于是k₁k₂=$\frac{y-0}{x+3}$•$\frac{y-0}{x-3}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-9}$=$\frac{{y}^{2}}{-\frac{9{y}^{2}}{8}}$=-$\frac{8}{9}$；
（Ⅲ）结论：在曲线C上存在点N，使$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{ON}$，且直线l方程为x=±$\frac{\sqrt{14}}{4}$y+2．
理由如下：
设过点（2，0）的直线l方程为：x=my+2，
联立直线l与曲线C的方程，消去x，整理得：
（9+8m²）y²+32my-40=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-$\frac{32m}{9+8{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{40}{9+8{m}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{ON}$，
∴N（x₁+x₂，y₁+y₂）在曲线C上，
∴$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{9}$+$\frac{（{{y}_{1}+{y}_{2}）}^{2}}{8}$=1，
又∵x₁+x₂=m（y₁+y₂）+4=4-$\frac{32{m}^{2}}{9+8{m}^{2}}$=$\frac{36}{9+8{m}^{2}}$，
∴$\frac{1}{9}$•$（\frac{36}{9+8{m}^{2}}）^{2}$+$\frac{1}{8}$•$（-\frac{32m}{9+8{m}^{2}}）^{2}$=1，
整理得：9+8m²=16，
解得：m=±$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
于是在曲线C上存在点N，使$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{ON}$，且直线l方程为x=±$\frac{\sqrt{14}}{4}$y+2．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．