Question

20．已知a＞0，b＞0，c＞2，且a+b=2，则$\frac{ac}{b}+\frac{c}{ab}-\frac{c}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{c-2}$的最小值为$\sqrt{10}$+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由2=$\frac{（a+b）^{2}}{2}$，先将$\frac{a}{b}$+$\frac{1}{ab}$-$\frac{1}{2}$变形为$\frac{5{a}^{2}+{b}^{2}}{4ab}$，运用基本不等式可得最小值，再求$\frac{\sqrt{5}}{2}$c+$\frac{\sqrt{5}}{c-2}$=$\sqrt{5}$[$\frac{1}{2}$（c-2）+$\frac{1}{c-2}$+1]的最小值，运用基本不等式即可得到所求值．

解答 解：a＞0，b＞0，c＞2，且a+b=2，
则$\frac{ac}{b}+\frac{c}{ab}-\frac{c}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{c-2}$=c（$\frac{a}{b}$+$\frac{1}{ab}$-$\frac{1}{2}$）+$\frac{\sqrt{5}}{c-2}$
=$\frac{c（2{a}^{2}+2-ab）}{2ab}$+$\frac{\sqrt{5}}{c-2}$，
由2=$\frac{（a+b）^{2}}{2}$，可得$\frac{2{a}^{2}+2-ab}{2ab}$=$\frac{2{a}^{2}+\frac{（a+b）^{2}}{2}-ab}{2ab}$
=$\frac{5{a}^{2}+{b}^{2}}{4ab}$≥$\frac{2\sqrt{5}ab}{4ab}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
当且仅当b=$\sqrt{5}$a时，取得等号．
则原式≥$\frac{\sqrt{5}}{2}$c+$\frac{\sqrt{5}}{c-2}$=$\sqrt{5}$[$\frac{1}{2}$（c-2）+$\frac{1}{c-2}$+1]
≥$\sqrt{5}$[2$\sqrt{\frac{1}{2}（c-2）•\frac{1}{c-2}}$+1]
=$\sqrt{10}$+$\sqrt{5}$．
当且仅当c=2+$\sqrt{2}$时，取得等号．
则所求最小值为$\sqrt{10}$+$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{10}$+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形和满足的条件：一正二定三等，考查化简和运算能力，属于中档题．