Question

11．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+（2a-1）x（a∈R）$．
（Ⅰ）若f（x）在点（0，0）处的切线方程为y=x，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=-1时，设f（x）在x₁，x₂（x₁＜x₂）处取到极值，记M（x₁，f（x₁））．A（0，f（0）），B（1，f（1）），C（2，f（2）），判断直线AM、BM、CM与函数f（x）的图象各有几个交点（只需写出结论）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据切线方程求出a的值即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）a=-1时，求出直线和f（x）的交点个数，写出结论即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意f'（x）=x²+2ax+2a-1，…（1分）
因为f（x）在（0，0）点处切线方程为y=x，
所以f'（0）=2a-1=1，解得a=1，
经检验a=1时满足条件． …（3分）
（Ⅱ）由（I）f'（x）=x²+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1）
令f'（x）=0，则x=-1或x=1-2a，…（4分）
①当a＞1时，1-2a＜-1，
令f'（x）＞0，解得x＜1-2a或x＞-1；
令f'（x）＜0，解得1-2a＜x＜-1．
所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，1-2a）和（-1，+∞），
单调减区间为（1-2a，-1）． …（6分）
②当a=1时，1-2a=-1，此时，f'（x）≥0恒成立，
且仅在x=-1处f'（x）=0，
故函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）．…（7分）
③当a＜1时，1-2a＞-1，
同理可得函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（1-2a，+∞），
单调减区间为（-1，1-2a）．…（9分）
（Ⅲ）直线AM与f（x）的图象的交点个数是3个；…（10分）
直线BM与f（x）的图象的交点个数是3个；…（11分）
直线CM与f（x）的图象的交点个数是2个．…（13分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．