Question

5．设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴．已知曲线C的极坐标方程为ρ=8sinθ
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t+2\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ=8sinθ，即ρ²=8ρsinθ．利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程．
（2）设直线$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t+2\end{array}\right.$（t为参数）的直角坐标方程为y=x+2．x²+y²=8y，配方为x²+（y-4）²=16，可得圆心C（0，4），半径r=4．求出圆心C到直线的距离d．可得|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=8sinθ，即ρ²=8ρsinθ．
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=8y．
（2）设直线$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t+2\end{array}\right.$（t为参数）的直角坐标方程为y=x+2．
x²+y²=8y，配方为x²+（y-4）²=16，可得圆心C（0，4），半径r=4．
∴圆心C到直线的距离d=$\frac{|0-4+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式公式、直线与圆直角弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．