Question

9．已知椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1，直线m与椭圆交于A、B两点，线段AB的中点为M（1，$\frac{1}{2}$），求直线m的方程．

Answer 1

分析 设出A，B的坐标，代入椭圆方程，利用“点差法”求得AB所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．

解答 解：由题：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，设直线m与椭圆的两个交点坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
代入椭圆方程的得：$\frac{{{x_1}^2}}{4}+{y_1}^2=1，\frac{{{x_2}^2}}{4}+{y_2}^2=1$．
两式相减得：$\frac{1}{4}（{x_1}+{x_2}）（{x_1}-{x_2}）=（{y_1}+{y_2}）（{y_2}-{y_1}），k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{1}{4}（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}）$，
另由中点坐标公式：x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，
则：$k=-\frac{1}{2}$
所以直线m方程为：y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1），即x+2y-2=0

点评 本题考查椭圆的简单性质，训练了“中点弦”问题的求解方法，是中档题．