Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）实轴顶点A₁、A₂，虚轴顶点B₁、B₂，若双曲线上存在点P，满足以|OP|为边长的正方形面积等于四边形A₁B₁A₂B₂面积，则双曲线离心率的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（x，y），由以|OP|为边长的正方形面积等于四边形A₁B₁A₂B₂面积，可得x²+y²=2ab，从而可得x²=

(2ab+b2)a2

c2

≥a²，即可求出双曲线离心率的取值范围．

解答： 解：由题意，设P（x，y），则
∵以|OP|为边长的正方形面积等于四边形A₁B₁A₂B₂面积，
∴x²+y²=2ab，
∴x²+b²（

x2

a2

-1）=2ab，
∴x²=

(2ab+b2)a2

c2

≥a²，
∴2ab+b²≥c²，
∴2b≥a，
∴4（c²-a²）≥a²，
∴e≥

5

2

．
故答案为：[

5

2

，+∞）．

点评：本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，确定x²=

(2ab+b2)a2

c2

≥a²是关键．