Question

若函数f(x)=

2x3+3x2+1(x≤0) eax(x＞0)

在[-2，2]上的最大值为2，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：当x∈[-2，0]上的最大值为2； 欲使得函数f(x)=

2x3+3x2+1(x≤0) eax(x＞0)

在[-2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e^2a的值必须小于等于2，从而解得a的范围．

解答： 解：由题意，当x≤0时，f（x）=2x³+3x²+1，可得f′（x）=6x²+6x，解得函数在[-1，0]上导数为负，在[-∞，-1]上导数为正，故函数在[-2，0]上的最大值为f（-1）=2；
要使函数f(x)=

2x3+3x2+1(x≤0) eax(x＞0)

在[-2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e^2a的值必须小于等于2，
即e^2a≤2，
解得a∈(-∞，

1

2

ln2]．
故答案为：(-∞，

1

2

ln2]．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．