Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n且S_n=2n²+n，n∈N^*，数列{b_n}满足a_n=4log₂b_n+3，n∈N^*．
（Ⅰ）求a_n和b_n的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）首先根据递推关系式求出数列a_n的通项公式，进一步利用a_n的通项公式求出数列b_n的通项公式．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，求出新数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）数列{a_n}的前n项和为S_n且S_n=2n²+n，n∈N^*，
则：a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
=2n²+n-2（n-1）²-（n-1）
=4n-1，
当n=1时，a₁=3符合通项公式，
所以：a_n=4n-1．
由于：数列{b_n}满足a_n=4log₂b_n+3，n∈N^*．
则：4n-1=4log₂b_n+3，
所以：bn=2n-1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：设c_n=anbn=(4n-1)2n-1，
则：T_n=c₁+c₂+…+c_n=3•2⁰+7•2¹+…+（4n-1）2^n-1①
2Tn=3•21+7•22+…+(4n-1)2n②
①-②得：-Tn=4(20+21+…+2n-1)-（4n-1）2ⁿ-1，
整理得：Tn=(4n-5)2n+5．

点评：本题考查的知识要点：等差与等比数列通项公式的求法，乘公比错位相减法的应用．属于基础题型．