Question

已知函数f（x）=

3

2

sinπx+

1

2

cosπx，x∈R，如图，函数f（x）在[-1，1]上的图象与x轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P，则

PM

与

PN

的夹角的余弦值是（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  2

  5

• C、

  3

  4

• D、

  3

  5

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：由已知，f（x）=

3

2

sinπx+

1

2

cosπx=sin（πx+

π

6

）．根据三角函数的图象与性质分别求出M，N，P坐标，得出

PM

=（-

1

2

，-1），

PN

=（

1

2

，-1），再利用向量数量积公式变形得出夹角的余弦值．

解答： 解：f（x）=

3

2

sinπx+

1

2

cosπx=sin（πx+

π

6

），
由f（x）=0，得出πx+

π

6

=kπ，k∈Z，
取k=0得x=-

1

6

所以M（-

1

6

，0），
取k=1得x=

5

6

所以N（

5

6

，0），
由f（x）=1，x∈[-1，1]，得πx+

π

6

=

π

2

，x=

1

3

，所以P（

1

3

，1），
∴

PM

=（-

1

2

，-1），

PN

=（

1

2

，-1），
cosθ=

PM • PN

| PM || PN |

=

3 4

5 2 × 5 2

=

3

5

．
故选：D．

点评：本题考查向量数量积、夹角的计算，考查了三角恒等变换、三角函数图象与性质．考查转化、计算能力，属于中档题．