Question

定义函数f（x）=

1，x＜0 ex，x≥0

，以下几个命题中：
①存在实数a，使f（a）•f（-a）=1；
②任意a，b∈R，都有f（a²）+f（b²）≥2f（ab）；
③存在实数a，b，使f（a）+f（b）=f（ab）；
④任意a，b∈R，都有f（a）•f（b）≥f（a+b）
正确的命题个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①取a=0，则f（0）=1，满足条件；
②任意a，b∈R，都有f（a²）+f（b²）=ea2+eb2≥2ea2+b2≥2e^2|ab|
分类讨论ab＜0，ab≥0，即可得出；
③假设a＞0，b＞0，取eb=

ea

ea-1

，满足f（a）+f（b）=f（ab）；
④任意a，b∈R，分类讨论：当ab=0时；当ab＜0时；当a＞0，b＞0时；当a＜0，b＜0时．即可判断出．

解答： 解：①存在实数a，使f（a）•f（-a）=1，正确，例如取a=0，则f（0）=1；
②任意a，b∈R，都有f（a²）+f（b²）=ea2+eb2≥2ea2+b2≥2e^2|ab|
若ab＜0，则f（a²）+f（b²）≥2e＞1，成立，
若ab≥0，则f（a²）+f（b²）≥2e^2ab＞2e^ab=2f（ab）．
综上可知正确．
③假设a＞0，b＞0，取eb=

ea

ea-1

，则f（a）+f（b）=ea+

ea

ea-1

=e^ab=f（ab）；
④任意a，b∈R，
当ab=0时，则f（a）f（b）=f（0）f（b）=f（b）=f（a+b），因此f（a）•f（b）≥f（a+b）成立；
当ab＜0时，不妨设a＞0＞b，则f（a）•f（b）=f（a）＞f（a+b），因此f（a）•f（b）≥f（a+b）成立；
当a＞0，b＞0时，f（a）•f（b）=e^a+b=f（a+b），成立；
当a＜0，b＜0时，f（a）f（b）=1=f（a+b）．
综上可知：都有f（a）•f（b）≥f（a+b）
即正确的命题个数为4．
故选：D．

点评：本题考查了分类讨论和指数函数的单调性，属于中档题．