Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=

2

，PA=PD=

5

，AD=2，BD=

3

．E、F分别是棱AD，PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAB；
（2）求二面角P-AD-B的大小；
（3）证明BE⊥平面PBC．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取PB中点M，连接MF，AM，运用中位线定理，证得四边形AMFE为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可得证；
（2）连接PE，BE．运用等腰三角形的三线合一，即可得到∠PEB为二面角P-AD-B的平面角，再由解直角三角形，即可得到二面角的平面角；
（3）运用线面垂直的判定定理，结合（2），即可证得BE⊥平面PBC．

解答： （1）证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM．
因为F为PC中点，故MF∥BC且MF=

1

2

BC．
由已知有BC∥AD，BC=AD．
又由于E为AD中点，因而MF∥AE，且MF=AE，
故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM．
又AM?平面PAB，而EF?平PAB．
所以EF∥平面PAB；
（2）解：连接PE，BE．
因为PA=PD，BA=BD，而E为AD中点，故PE⊥AD，BE⊥AD．
所以∠PEB为二面角P-AD-B的平面角．
在△PAD中，由PA=PD=

5

，AD=2，可解得PE=2．
在△ABD中，由BA=BD=

2

，AD=2，可解得BE=1．
在△PEB中，PE=2，BE=1，PB=

3

从而∠PBE=90°
∠PEB=60°．即有二面角P-AD-B的大小为60°；
（3）证明：由（2）得∠PBE=90°即BE⊥PB．
又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，
因此BE⊥平面PBC．

点评：本题考查线面平行、垂直的判定和性质定理的运用，考查空间二面角的求法，考查运算和推理的能力，属于中档题．