Question

给出定义：若函数f（x）在（a，b）上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在（a，b）上也可导，则称f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，记f″（x）=（f′（x））′．若f″（x）＜0在（a，b）上恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为凸函数．已知函数f（x）=

1

12

x4-

1

6

mx3-

3

2

x2，若对任意实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在（a，b）上为凸函数，则b-a的最大值是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：先求出f″（x），问题转化为当|m|≤2时，mx＞x²-3恒成立，讨论当x=0时，x＞0，x＜0的情况，从而求出x的范围，进而解出答案．

解答： 解：∵f′（x）=

1

3

x³-

1

2

mx²-3x，
∴f″（x）=x²-mx-3，
当|m|≤2时，f″（x）=x²-mx-3＜0恒成立，
?当|m|≤2时，mx＞x²-3恒成立．
当x=0时，f″（x）=-3＜0显然成立．
当x＞0，x-

3

x

＜m．
∵m的最小值是-2．
∴x-

3

x

＜-2．
从而解得0＜x＜1，
当x＜0，x-

3

x

＞m，
∵m的最大值是2，∴x-

3

x

＞2，
从而解得-1＜x＜0．
综上可得-1＜x＜1，从而（b-a）_max=1-（-1）=2．

点评：本题考查了导数的应用，不等式的解法，考查转化思想，是一道中档题．