Question

如图所示，PA⊥平面ABCD，△CAB为等边三角形，PA=AB，AC⊥CD，M为AC中点．
（Ⅰ）证明：BM∥平面PCD；
（Ⅱ）若PD与平面PAC所成角的正切值为

6

2

，求二面角C-PD-M的正切值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，由此能证明BM∥平面PCD． 
（Ⅱ）因为CD⊥AC，CD⊥PA，所以CD⊥平面PAC，故PD与平面PAC所成的角即为∠CPD，
（方法一）在等腰Rt△PAC中，过点M作ME⊥PC于点E，再在Rt△PCD中作EF⊥PD于点F，∠EFM即为二面角C-PD-M的平面角，由此能求出二面角C-PD-M的正切值．
（方法二）以A点为坐标原点，AC为x轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出能求出二面角C-PD-M的正切值．

解答： （Ⅰ）证明：因为M为等边△ABC的AC边的中点，所以BM⊥AC．
依题意CD⊥AC，且A、B、C、D四点共面，所以BM∥CD．    …3分
又因为BM?平面PCD，CD?平面PCD，所以BM∥平面PCD．  …5分
（Ⅱ）解：因为CD⊥AC，CD⊥PA，
所以CD⊥平面PAC，故PD与平面
PAC所成的角即为∠CPD．…7分
不妨设PA=AB=1，则PC=

2

．
由于tan∠CPD=

CD

PC

=

6

2

，所以CD=

3

．…9分
（方法一）
在等腰Rt△PAC中，过点M作ME⊥PC于点E，
再在Rt△PCD中作EF⊥PD于点F（图1所示）．
因为ME⊥PC，ME⊥CD，所以ME⊥平面PCD，可得ME⊥PD．
又EF⊥PD，
所以∠EFM即为二面角C-PD-M的平面角．   …12分
由题意知PE=3EC，ME=

2

4

，EF=

3

4

×

2 • 3

5

=

3 30

20

，
所以tan∠EFM=

ME

EF

=

2 4

3 30 20

=

15

9

，
即二面角C-PD-M的正切值是

15

9

．…15分
（方法二）
以A点为坐标原点，AC为x轴，
建立如图2所示的空间直角坐标系A-xyz．
则P（0，0，1），M（

1

2

，0，0），C（1，0，0），D（1，

3

，0）．
则

PC

=(1，0，-1)，

PD

=(1，

3

，-1)，

PM

=(

1

2

，0，-1)．
若设

n1

=（x₁，y₁，z₁）和

n2

=（x₂，y₂，z₂）分别是平面PCD和平面PMD的法向量，
则

n1 • PC =x1-z1=0 n1 • PD =x1+ 3 y1-z1=0

，可取

n1

=(1，0，1)．
同理，得

n2

=（2，-

3

3

，1）．…12分
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

3

2 • 16 3

=

27 32

，
故二面角C-PD-M的余弦值是

27 32

，其正切值是

15

9

．…15分

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．