Question

已知f（x）是定义域为（0，+∞）的函数，当x∈（0，1）时，f（x）＜0，若对任意正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立，试判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：抽象函数的单调性的证明，只能用定义法，所以需要将给的条件适当变形，构造出函数值的差的形式，再利用给的判断符号的条件进行判断．

解答： 解：该函数在定义域内是增函数．
证明：由f（xy）=f（x）+f（y）成立，得f（xy）-f（x）=f（y），令m=xy，n=x，则y=

m

n

，
则有f（m）-f（n）=f（

m

n

），
令0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），
显然0＜

x1

x2

＜1，又因为x∈（0，1）时，f（x）＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＜0，
所以f（x₁）＜f（x₂），
所以原函数在（0，+∞）上是单调增函数．

点评：本题利用定义证明单调性时，利用“f（xy）=f（x）+f（y）”变换成“有f（m）-f（n）=f（

m

n

）”是解决本题的关键．