Question

从坐标原点O作曲线y=lnx的切线OP（P为切点），再过切点P引切线的垂线L，L与y轴的交点为Q．
（Ⅰ）求点P及点Q的坐标；
（Ⅱ）证明：点P是曲线y=lnx上距离点Q最近的点．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,两点间距离公式的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的位置关系即可求点P及点Q的坐标；
（Ⅱ）求出Q到直线OP的距离与|PQ|的关系即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）函数的f（x）的导数f′（x）=

1

x

，设切点为P（a，lna），
则切线斜率k=

1

a

，则切线方程为y-lna=

1

a

（x-a）=

1

a

x-1，
∵直线过原点，∴-lna=-1，
解得a=e，即P（e，1）．即切线方程为y-1=

1

e

（x-e），
过切点P引切线的垂线L，则垂线L的斜率k=-e，
则对应方程为y-1=-e（x-e），
令x=0，则y=1+e²，
即Q的坐标为（0，1+e²）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知过原点与y=lnx的切线方程为y=

1

e

x，
即x-ey=0，
则Q到直线x-ey=0的距离d=

|e(1+e2)|

1+e2

=e•

1+e2

，
而|QP|=

e2+(1+e2-1)2

=

e2+e4

=e•

1+e2

=d，
∴点Q到直线OP的距离为|QP|，
即点P是曲线y=lnx上距离点Q最近的点，

点评：本题主要考查导数的综合应用，利用导数求出切线斜率是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．