Question

3．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点与椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． y=±$\frac{3}{2}$x
• B． y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x
• C． y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x
• D． y=±$\sqrt{3}$x

Answer 1

分析 根据椭圆的标准方程求出c，利用双曲线的离心率建立方程求出a，b，即可求出双曲线的渐近线方程．

解答 解：∵椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
∴椭圆中的a₁=5，b₁=4，则c=3，
∵双曲线的焦点与椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦点相同，
∴双曲线中c=3，
∵双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，
∴e=$\frac{3}{a}$=2，则a=$\frac{3}{2}$．
在双曲线中b=$\sqrt{9-\frac{9}{4}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
则双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x=±$\sqrt{3}$x，
故选：D．

点评 本题主要考查双曲线渐近线的求解，根据椭圆和双曲线的关系建立方程求出a，b，c是解决本题的关键．