Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥CD，∠BCD=90°．
（1）求证：BC⊥平面PDC；
（2）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）证明PD⊥BC，BC⊥CD，利用直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面PDC．
（2）解：连结AC，设点A到平面PBC的距离为h．通过V_A-PBC=V_P-ABC，转化求解即可．

解答 （1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC…（2分）
又∵∠BCD=90°，∴BC⊥CD…（3分）
而  PD∩DC=D，PD?平面PDC，CD?平面PDC…（4分）
∴BC⊥平面PDC．…（6分）
（2）解：连结AC，设点A到平面PBC的距离为h．
由（1）有BC⊥平面PDC，
∴BC⊥PC…（7分）
在Rt△PDC中，有PD=DC=1∴$PC=\sqrt{2}$…（8分）
由V_A-PBC=V_P-ABC，
有$\frac{1}{3}×{S_{△PBC}}•h=\frac{1}{3}×{S_{△ABC}}×PD$…（9分）
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PC×BC•h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×BC×PD$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1$∴$h=\sqrt{2}$…（11分）
故所求距离为$\sqrt{2}$．…（（12分））

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力．