Question

8．某书店的销售刚刚上市的某知名品牌的高三数学单元卷，按事先限定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如表数据：

单价x（元）	18	19	20	21	22
销量y（册）	61	50	50	48	45

（1）求试销5天的销售量的方差和y对x的回归直线方程；
（2）预计今后的销售中，销售量与单价服从（1）中的回归方程，已知每册单元卷的成本是14元，为了获得最大利润，该单元卷的单价应定为多少元？
（附：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-x）（{y}_{i}-y）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-x）}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}\overline{x}$））

Answer 1

分析 （1）计算平均数，利用公式求出a，b，即可得出y对x的回归直线方程；
（2）设工厂获得的利润为z元，利用利润=销售收入-成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大．

解答 解：（1）由题意，$\overline{x}$=20，$\overline{y}$=52，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{-40}{10}$=-4，$\stackrel{∧}{a}$=52+20×4=132，
∴$\stackrel{∧}{y}$=-4x+132．
试销5天的销售量的方差=$\frac{1}{5}（{9}^{2}+{4}^{2}+{2}^{2}+{4}^{2}+{7}^{2}）$=33.2；
（2）获得的利润z=（x-14）（-4x+132）=-4x²+188x-1848，
函数的对称轴为x=23.5，开口向下，∴x=23.5元时，获得最大利润．

点评 本题主要考查回归分析，考查二次函数，考查运算能力、应用意识，属于基础题．