Question

14．如图，三棱锥P-ABC的棱长都相等，D是棱AB的中点，则直线PD与直线BC所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{4}$

Answer 1

分析 取AC的中点E，DE∥BC，即构造出直线PD与直线BC所成角为∠PDE．

解答 解：取AC的中点E，连接DE，PE，
∴DE∥BC，则直线PD与直线BC所成角为∠PDE．
∵三棱锥P-ABC的棱长都相等，设：AP=PB=PC=a，D是棱AB的中点，
∴PD⊥AB，PE⊥AC，PD=PE，
可得：△APE≌△ADP，且是直角三角形，
∴PD=PE=$\sqrt{P{A}^{2}-A{E}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$．
利用余弦定理：
∴cos∠PDE=$\frac{P{D}^{2}+D{E}^{2}-P{E}^{2}}{2PD•DE}$=$\frac{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}+（\frac{1}{2}a）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{1}{2}a}=\frac{\sqrt{3}}{6}$
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的大小以及利用余弦定理来求余弦值，学会利用已知条件，作出辅助线，构造出异面直线所成角，注重空间思维能力的培养．属于中档题．