Question

11．已知函数f（x）=sin（${\frac{π}{2}$-x）sinx-$\sqrt{3}$cos²x．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[${\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的单调递增区间；
（2）根据x∈[${\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}}$]求出f（x）的范围，结合三角函数的图象和性质，求其范围内的最大值及最小值，即可到得f（x）的值域．

解答 解：∵f（x）=sin（${\frac{π}{2}$-x）sinx-$\sqrt{3}$cos²x．
?f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x$）
?f（x）=$\frac{1}{2}sin2x$-$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x$）
?f（x）=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴f（x）=$sin（2x-\frac{π}{3}）-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
（1）∵y=sinx的单调递增区间为$[2kπ-\frac{π}{2}，2kπ+\frac{π}{2}]，（k∈Z）$
∴由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）解得：$x∈[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]$，
∴f（x）的单调递增区间为：$[kπ-\frac{π}{12}，kx+\frac{5π}{12}]$（k∈Z）．
（2）∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}}$]，
∴有$2x-\frac{π}{3}∈[0，π]$，
结合三角函数的图象和性质，可知：
当2x$-\frac{π}{3}$=0或π时，f（x）取得最小值，即$f（x）_{min}=sin0-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
当2x$-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值，即$f（x）_{max}=sin\frac{π}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$．
所以x∈[${\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}}$]，f（x）的值域为$[-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{2-\sqrt{3}}{2}]$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简的能力，正确化简是解决本题的关键．属于基础题．