Question

已知函数f（x）=sin（

π

2

+x）cos（

π

2

-x）+cosxcos（π-x）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据诱导公式、两角和的余弦公式化简函数解析式，再由周期公式求出函数f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[-

π

4

，

π

4

]得2x∈[-

π

2

，

π

2

]，根据余弦函数的性质求出cos2x的范围，再求出函数的值域，即可求函数的最值．

解答： 解：（1）由题意得，f（x）=sin（

π

2

+x）cos（

π

2

-x）+cosxcos（π-x）
=sinxcosx-cosxcosx=-cos2x，
函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由x∈[-

π

4

，

π

4

]得，2x∈[-

π

2

，

π

2

]，
所以0≤cos2x≤1，即-1≤-cos2x≤0，
则函数的最大值是0，最小值是-1．

点评：本题考查了诱导公式、两角和的余弦公式，以及余弦函数的性质，属于中档题．