已知数列{an}满足an=$\frac{{a}^{n+1}-{a}^{-n-1}}{a-{a}^{-1}}$(n∈N*).a≠-1.0.1.设b=a+$\frac{1}{a}$．(1)求证:an+1=ban-an-1(n≥2.n∈N*),(2)当n(n∈N*)为奇数时.an=$\sum {i=0}^{\frac{n-1}{2}}(-1)^{i}$C${\;} {n-1}^{i}$bn-2i.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

8．已知数列{a_n}满足a_n=$\frac{{a}^{n+1}-{a}^{-n-1}}{a-{a}^{-1}}$（n∈N^*），a≠-1，0，1，设b=a+$\frac{1}{a}$．
（1）求证：a_n+1=ba_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*）；
（2）当n（n∈N^*）为奇数时，a_n=$\sum_{i=0}^{\frac{n-1}{2}}（-1）^{i}$C${\;}_{n-1}^{i}$b^n-2i，猜想当n（n∈N^*）为偶数时，a_n关于b的表达式，并用数学归纳法证明．

分析（1）作差证明即可，
（2）猜想a_n的表达式，利用数学归纳法的证明步骤进行证明．

解答证明（1）ba_n-a_n-1=$\frac{（a+{a}^{-1}）（{a}^{n+1}-{a}^{-n-1}）}{a-{a}^{-1}}$-$\frac{{a}^{n}-{a}^{-n}}{a-{a}^{-1}}$=$\frac{{a}^{n+2}-{a}^{-n-2}}{a-{a}^{-1}}$=a_n+1，
（2）猜想n（n∈N^*）为偶数时，有a_n=$（-1）^{i}{C}_{n-i}^{i}{b}^{n-2i}$；
下面同数学归纳法证明这个猜想，
①当n=2时，a₂=$\frac{{a}^{3}-{a}^{-3}}{a-{a}^{-1}}$=a²+a+a^-2=（a+$\frac{1}{a}$）²-1=b²-1，结论成立，
②假设当n=k时（k为偶数）时，结论成立，
即a_k=（-1）ⁱ${C}_{k-i}^{i}$b^-2i=b^k-${C}_{k-1}^{1}{b}^{k-2}$+…+$（-1）^{i}{C}_{k}^{i}{b}^{k-2i}$+…+$（-1）^{\frac{k}{2}}$．此时k+为奇数，
∴a_k+1=$（-1）^{i}{C}_{k+1-i}^{i}$b^k+1-2i=b^k+1-${C}_{k+1}^{1}{b}^{k-1}$+…+$（-1）^{i}{C}_{k+1-i}^{i}{b}^{k+1-2i}$+…+$（-1）^{\frac{k}{2}}{C}_{\frac{k+2}{2}}^{\frac{k}{2}}b$，
当n=k+2（k为偶数时），
a_k+2=ba_k+1-a_k=[${b}^{k+2}-{C}_{k}^{1}{b}^{k}+…+$$（-1）^{i}{C}_{k+1-i}^{i}{b}^{k+2-2i}$+…+$（-1）^{\frac{k}{2}}$${C}_{\frac{k+2}{2}}^{\frac{k}{2}}$b²]-[${b}^{k}-{C}_{k-1}^{1}{b}^{k-2}$+…+$（-1）^{i}{C}_{k-i}^{i}{b}^{k-2i}$+…+$（-1）^{\frac{k}{2}}$]，
=b^k+2-b^k+…+$（-1）^{i}（{C}_{k+1-i}^{i}+$${C}_{k-（i-1）}^{i-1}$）b^k+2-2ib^k+2-2i+…+$（-1）^{\frac{k+2}{2}}$，
=b^k+2-b^k+…+$（-1）^{i}{C}_{k+2-i}^{i}$b^k+2-2i+…+$（-1）^{\frac{k+2}{2}}$，
=$（-1）^{i}{C}_{k+2-i}^{i}{b}^{k+2-2i}$，结论也成立，
根据①②，可知当n（n∈N^*）为偶数时，均有a_n=$（-1）^{i}{C}_{n-i}^{i}{b}^{n-2i}$

点评本题考查数学归纳法，考查猜想与证明，正确运用数学归纳法的证明步骤是关键．

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某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）

A.10 B.9 C. 8 D. 7

1．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l₁和l₂分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．
（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；
（2）若直线l₁和l₂关于y轴对称，Γ上任意一点P到l₁和l₂的距离分别为d₁和d₂，当d₁²+d₂²为定值时，求此时直线l₁和l₂的斜率及该定值．
（3）当ACBD为菱形，且圆x²+y²=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．

17．求下列极限：
（1）$\underset{lim}{x→1}$$\sqrt{{x}^{2}+2}$；
（2）$\underset{lim}{x→\frac{π}{4}}$（sinx-cosx）；
（3）$\underset{lim}{x→1}$cos lnx；
（4）$\underset{lim}{x→0}$e^sinx．

若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是（）

A．三条交线为异面直线

B．三条交线两两平行

C．三条交线交于一点

D．三条交线两两平行或交于一点

13．在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，其前n项和为S_n，且{S_n}成等比数列，则a₅=54．

20．有一名同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对某种引领销售的影响，记录了2015年7月至12月每月15号下午14时的气温和当天卖出的饮料杯数，得到如下资料：

日期	7月15日	8月15日	9月15日	10月15日	11月15日	12月15日
摄氏温度x（℃）	36	35	30	24	18	8
饮料杯数y	27	29	24	18	15	5

该同学确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选中的2组数据进行检验．
（1）求选取2组数据恰好是相邻的两个月的概率；
（2）若选中的是8月与12月的两组数据，根据剩下的4组数据，求出y关于x的线性回归方程$\hat y=bx+\hat a$．
附：对于一组数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回归直线$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．

15．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x≥1}\\{1，x＜1}\end{array}\right.$，则不等式f（6-x²）＞f（x）的解集为（　　）

（-$\sqrt{5}$，2）

（-2，$\sqrt{5}$）

16．设函数f（x）=（x-a）²lnx，a∈R．
（I）若x=e是y=f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-4e²只有一个零点，求实数a的取值范围．