已知椭圆Γ:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1.过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A.B和C.D.得到平行四边形ACBD．(1)当ACBD为正方形时.求该正方形的面积S,(2)若直线l1和l2关于y轴对称.Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2.当d12+d22为定值时.求此时直线l1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l₁和l₂分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．
（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；
（2）若直线l₁和l₂关于y轴对称，Γ上任意一点P到l₁和l₂的距离分别为d₁和d₂，当d₁²+d₂²为定值时，求此时直线l₁和l₂的斜率及该定值．
（3）当ACBD为菱形，且圆x²+y²=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．

分析（1）通过ACBD为正方形可知直线l₁和l₂的方程为y=x和y=-x，进而联立直线与椭圆方程，利用对称性即得结论；
（2）通过妨设直线l₁的方程为y=kx，则直线l₂的方程为y=-kx，设P（x₀，y₀），利用点到直线的距离公式及$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，整理可知${{d}_{1}}^{2}$+${{d}_{2}}^{2}$的表达式，进而利用d₁²+d₂²为定值计算即得结论；
（3）通过设AC与圆x²+y²=1相切的切点坐标为（x₀，y₀），联立切线AC的方程与椭圆方程，分x₀=0或y₀=0、x₀≠0或y₀≠0两种情况讨论即可．

解答解：（1）∵ACBD为正方形，
∴直线l₁和l₂的方程为y=x和y=-x，
设点A、B的坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得${{x}_{1}}^{2}$=${{x}_{2}}^{2}$=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
由对称性可知，S=4${{x}_{1}}^{2}$=$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$；
（2）由题意，不妨设直线l₁的方程为y=kx，则直线l₂的方程为y=-kx，
设P（x₀，y₀），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
又∵d₁=$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，d₂=$\frac{|k{x}_{0}+{y}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴${{d}_{1}}^{2}$+${{d}_{2}}^{2}$=$\frac{（k{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}}{1+{k}^{2}}$+$\frac{（k{x}_{0}+{y}_{0}）^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{2{k}^{2}{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
将${{y}_{0}}^{2}$=b²（1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$）代入上式，
得${{d}_{1}}^{2}$+${{d}_{2}}^{2}$=$\frac{2（{k}^{2}-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}）{{x}_{0}}^{2}+2{b}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
∵d₁²+d₂²为定值，
∴k²-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=0，即k=±$\frac{b}{a}$，
于是直线l₁和l₂的斜率分别为$\frac{b}{a}$和-$\frac{b}{a}$，此时${{d}_{1}}^{2}$+${{d}_{2}}^{2}$=$\frac{2{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$；
（3）设AC与圆x²+y²=1相切的切点坐标为（x₀，y₀），
则切线AC的方程为：x₀x+y₀y=1，
点A、C的坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）为方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}x+{y}_{0}y=1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$的实数解．
①当x₀=0或y₀=0时，ACBD均为正方形，
椭圆均过点（1，1），于是有$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1；
②当x₀≠0或y₀≠0时，将y=$\frac{1}{{y}_{0}}$（1-x₀x）代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
整理得：（a²${{x}_{0}}^{2}$+b²${{y}_{0}}^{2}$）x²-2a²x₀x-a²（1+b²${{y}_{0}}^{2}$）=0，
由韦达定理可知x₁x₂=$\frac{{a}^{2}（1-{b}^{2}{{y}_{0}}^{2}）}{{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}+{b}^{2}{{y}_{0}}^{2}}$，
同理可知y₁y₂=$\frac{{b}^{2}（1-{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}）}{{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}+{b}^{2}{{y}_{0}}^{2}}$，
∵ACBD为菱形，
∴AO⊥CO，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{{a}^{2}（1-{b}^{2}{{y}_{0}}^{2}）}{{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}+{b}^{2}{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}（1-{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}）}{{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}+{b}^{2}{{y}_{0}}^{2}}$=0，
整理得：a²+b²=a²b²（${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$），
又∵${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=1，
∴a²+b²=a²b²，即$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1；
综上所述，a，b满足的关系式为$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1．