Question

1．已知$f（x）=x+\frac{b}{x}-3$，x∈[1，2]
（1）若b=1时，求f（x）的值域；
（2）若b≥2时，f（x）的最大值为M，最小值为m，且满足：M-m≥4，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当b=1，f（x）=x+$\frac{1}{x}$-3，然后根据函数f（x）在[1，2]上的单调性，求出f（x）的最值，从而求出函数f（x）的值域；
（2）分类讨论①当0＜b＜2时，②2≤b＜4时，③b≥4时，由函数f（x）在[1，2]上单调上的单调性，求出f（x）的最大值为M，最小值为m，最后根据M-m≥4，求出b的取值范围．

解答 解：（1）当b=1时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$-3，x∈[1，2]，
求导f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0，解得：x=±1，
当x∈[1，2]，f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，2]上单调递增，
∴f（x）的最小值为f（1）=-1，
当x=2时，f（x）取最大值，最大值为f（2）=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的值域[-1，-$\frac{1}{2}$]；
（2）①当0＜b＜2时，f（x）在[1，2]上单调递增，
则m=b-2，M=$\frac{b}{2}$-1，此时M-m=-$\frac{b}{2}$+1≥4，解得：b≤-6，
与0＜b＜2矛盾，
②当2≤b＜4时，由（x）在[1，$\sqrt{b}$]上单调递减，在[$\sqrt{b}$，2]上单调递增．
∴M=max{f（1），f（2）}=b-2，m=f（$\sqrt{b}$）=2$\sqrt{b}$-3，
M-m=b-2$\sqrt{b}$+1≥4，得（$\sqrt{b}$-1）2≥4，
即b≥9，与2≤b＜4矛盾．
③b≥4时，f（x）在[1，2]上单调递减．
M=b-2，m=$\frac{b}{2}$-1，M-m=$\frac{b}{2}$-1≥4，解得：b≥10，
综上可知：b≥10．

点评 本题考查函数的单调性与最值的意义，考查函数单调性与最值的应用，考查分类讨论思想，属于中档题．