Question

7．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=x-1，则函数y=f（x）-log₄|x|的零点个数是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性推出函数的周期性，利用函数与方程之间的关系进行转化，利用数形结合进行判断即可．

解答 解：∵奇函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
若x∈（-1，0），则-x∈（0，1），
∵当x∈（0，1）时，f（x）=x-1，
∴当-x∈（0，1）时，f（-x）=-x-1=-f（x），
即当x∈（0，1）时，f（x）=x+1，
当x=0时，f（0）=0，则f（1）=-f（0）=0
由y=f（x）-log₄|x|=0得f（x）=log₄|x|，
作出函数f（x）和y=log₄|x|的图象如图：
两个函数共有4个交点，
故函数y=f（x）-log₄|x|的零点个数是4个，
故选：C

点评 本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件判断函数的周期性，以及利用方程和函数之间的关系进行转化是解决本题的关键．