Question

已知函数f（x）=lnx-

1

2

ax2-2x（a＜0）．
（Ⅰ）若函数f（x）在定义域内单调递增，求实数f′（x）≥0的取值范围；
（Ⅱ）若a=-

1

2

，且关于a≤

1-2x

x2

=(

1

x

-1)2-1的方程f（x）=-

1

2

x+b在[1，4]上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2（n∈N^*），求证：a_n≤2ⁿ-1．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．
（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题．
（3）设h（x）=lnx-x+1然后求导，可判断函数h（x）的单调性，再由数学归纳法得证．

解答： 解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
f′(x)=-

ax2+2x-1

x

(x＞0)，依题意f'（x）≥0，
在x＞0时恒成立，则a≤

1-2x

x2

=(

1

x

-1)2-1，
在x＞0时恒成立，即a≤[ ，
当x=1时，(

1

x

-1)2-1取最小值-1，所以a的取值范围是（-∞，-1]…4分
（Ⅱ）a=-

1

2

，由f(x)=-

1

2

x+b得

1

4

x2-

3

2

x+lnx-b=0在[1，4]上有两个不同的实根，
设g(x)=

1

4

x2-

3

2

x+lnx，x∈[1，4]    g′(x)=

(x-2)(x-1)

2x

，
x∈[1，2）时，g'（x）＜0，x∈（2，4]时，g'（x）＞0g（x）_min=g（2）=ln2-2，g(1)=-

5

4

，g(4)=2ln2-2，g(1)-g(4)=

3

4

-2ln2=

1

4

(3-4ln4)＜0，
得g（1）＜g（4）则b∈(ln2-2，-

5

4

]…8分
（Ⅲ）易证当x＞0且x≠1时，lnx＜x-1．
由已知条件a_n＞0，a_n+1=lna_n+a_n+2≤a_n-1+a_n+2=2a_n+1，故a_n+1+1≤2（a_n+1），
所以当n≥2时，0＜

an+1

an-1+1

≤2，0＜

an-1+1

an-2+1

≤2，0＜

a2+1

a1+1

≤2，
相乘得0＜

an+1

a1+1

≤2n-1，
又a₁=1，故an+1≤2n，即an≤2n-1…12分

点评：本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，综合性强，属于难题．