Question

已知函数f（x）=log_a

x-1

x+1

（其中a＞0且a≠1），
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）写出函数f（x）的单调区间（不必写出证明过程）．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数的真数大于0，求出f（x）的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义，判断f（x）是奇函数；
（3）讨论a＞1和1＞a＞0时，f（x）的增减性即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log_a

x-1

x+1

（a＞0且a≠1），
∴

x-1

x+1

＞0，
解答x＞1，或x＜-1；
∴f（x）的定义域是（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）∵f（x）的定义域是（-∞，-1）∪（1，+∞），
则对定义域内的x，都有
f（-x）=log_a

-x-1

-x+1

=log_a

x+1

x-1

=-log_a

x-1

x+1

=-f（x），
∴f（x）是定义域上的奇函数；
（3）当a＞1时，f（x）在区间（-∞，-1），和（1，+∞）上是增函数；
当1＞a＞0时，f（x）在区间（-∞，-1），和（1，+∞）上是减函数；
∴a＞1时，f（x）的增区间是（-∞，-1），（1，+∞）；
1＞a＞0时，f（x）的减区间是（-∞，-1），（1，+∞）．

点评：本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数的单调性与奇偶性的判断问题，是基础题．