Question

已知函数f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞）．
（1）当a=

1

2

时，判断并证明f（x）的单调性；
（2）当a=-1时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=

1

2

时，f（x）=

x2+2x+a

x

=x+2+

1

2x

=x+

1

2x

+2．任取x₁，x₂是[1，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，利用做差法，可判断函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（2）当a=-1时，f（x）=x-

1

x

+2．由函数y₁=x和y₂=-

1

x

在[1，+∞）上都是增函数，可得f（x）=x-

1

x

+2在[1，+∞）上是增函数，故当x=1时，f（x）取得最小值．

解答： 解：（1）当a=

1

2

时，f（x）=

x2+2x+a

x

=x+2+

1

2x

=x+

1

2x

+2．
设x₁，x₂是[1，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

2x1

）-（x₂+

1

2x2

）
=（x₁-x₂）+（

1

2x1

-

1

2x2

）=（x₁-x₂）+

x2-x1

2x1x2

=（x₁-x₂）（1-

1

2x1x2

）=（x₁-x₂）•

x1•x2- 1 2

x1x2

．
因为1≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞0，
x₁x₂-

1

2

＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（2）当a=-1时，f（x）=x-

1

x

+2．
因为函数y₁=x和y₂=-

1

x

在[1，+∞）上都是增函数，
所以f（x）=x-

1

x

+2在[1，+∞）上是增函数．
当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1-

1

1

+2=2，
即函数f（x）的最小值为2．

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，函数的最值及其几何意义，函数的单调性的证明，是函数单调性与最值的综合应用，难度中档．