Question

已知椭圆C₁的焦点F₁（-1，0），F₂（1，0）是双曲线C₂的顶点，且椭圆C₁与双曲线C₂的一个交点为M（

2 3

3

，

3

3

）．
（1）求椭圆C₁及双曲线C₂的标准方程；
（2）若点P是双曲线右支上的动点，点Q是y轴上的动点，且满足F₁P⊥F₁Q，判断直线PQ是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出椭圆C₁及双曲线C₂的标准方程，利用椭圆的定义，结合椭圆C₁与双曲线C₂的一个交点为M（

2 3

3

，

3

3

），求出几何量，即可得到标准方程；
（2）确定直线F₁Q的方程，可得Q的坐标，直线PQ的方程，将y₀²=1-x₀²，代入，即可得出结论．

解答： 解：（1）设椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），双曲线C₂的方程是x2-

y2

b12

=1，
则2a=|MF₁|+|MF₂|=

8+4 3 3

+

8-4 3 3

=2

2

，

12

9

-

1 3

b12

=1
∴a=

2

，b=1，b₁=1，
∴椭圆C₁：

x2

2

+y2=1，双曲线C₂的方程是x²-y²=1；
（2）设点P的坐标是（x₀，y₀），则x₀²-y₀²=1，
k_F1P=

y0

x0+1

，∴k_F1Q=-

x0+1

y0

，
∴直线F₁Q的方程是y=-

x0+1

y0

（x+1），
令x=0得y=-

x0+1

y0

，即Q（0，-

x0+1

y0

），
∴直线PQ的方程为

y-y0

- x0+1 y0 -y0

=

x-x0

-x0

，
将y₀²=1-x₀²，代入可得x₀y₀y=（x₀+x₀²）（x-1），
∴过定点F₂（1，0）．

点评：本题考查椭圆、双曲线的标准方程，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．