Question

15．定义在R上的奇函数f（x）在（-∞，0）上递增，f（2）=1，则满足|f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）|＞1的x的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{4}$，4）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{4}$）∪（4，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得f（x）在（0，+∞）上也单调递增，并求得f（-2）=-f（2）=-1．然后由|f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）|＞1得|f（log₂x）|＞1，去绝对值后由函数单调性转化为对数不等式求解．

解答 解：∵定义在R上的奇函数f（x）在（-∞，0）上递增，
∴f（x）在（0，+∞）上也单调递增，
又f（2）=1，∴f（-2）=-f（2）=-1．
由|f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）|＞1，得|f（-log₂x）|＞1，即|-f（log₂x）|＞1，
∴|f（log₂x）|＞1，得f（log₂x）＞1或f（log₂x）＜-1，
由f（log₂x）＞1，得f（log₂x）＞f（2），即log₂x＞2，得x＞4；
由f（log₂x）＜-1，f（log₂x）＜f（-2），即log₂x＜-2，得0＜x＜$\frac{1}{4}$．
∴x的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$）∪（4，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查函数的性质及其应用，考查对数不等式的解法，是中档题．