Question

5．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|x-1|，x∈（0，2]\\ min\{|x-1|，|x-3|\}，x∈（2，4]\\ min\{|x-3|，|x-5|\}，x∈（4，+∞）.\end{array}\right.$
①若f（x）=a有且只有一个根，则实数a的取值范围是（1，+∞）．
②若关于x的方程f（x+T）=f（x）有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是（-4，-2）∪（2，4）．

Answer 1

分析 ①作出f（x）的图象，根据图象判断；
②将f（x）的图象平移，只需与原图象有3个交点即可．

解答 解：①f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x-1|，x∈（0，2]}\\{|x-3|，x∈（2，4]}\\{|x-5|，x∈（4，+∞）}\end{array}\right.$，
作出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知当a＞1时，f（x）=a只有1解．
②∵关于x的方程f（x+T）=f（x）有且仅有3个不同的实根，
∴将f（x）的图象向左或向右平移|T|个单位后与原图象有3个交点，
∴2＜|T|＜4，
即-4＜T＜-2或2＜T＜4．
故答案为：①（1，+∞），②（-4，-2）∪（2，4）．

点评 本题考查方程解与函数图象的关系，函数图象的变换，属于中档题．