Question

19．函数f（x）=x|x|．若存在x∈[1，+∞），使得f（x-2k）-k＜0，则k的取值范围是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （$\frac{1}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 根据题意x∈[1，+∞）时，x-2k∈[1-2k，+∞）；讨论①1-2k≤0时和②1-2k＞0时，存在x∈[1，+∞），使f（x-2k）-k＜0时k的取值范围即可．

解答 解：根据题意，x∈[1，+∞）时，x-2k∈[1-2k，+∞）；
①当1-2k≤0时，解得k≥$\frac{1}{2}$；存在x∈[1，+∞），使得f（x-2k）-k＜0，
即只要f（1-2k）-k＜0即可；
∵1-2k≤0，∴f（1-2k）=-（1-2k）²，
∴-（1-2k）²-k＜0，整理得-1+4k-4k²-k＜0，即4k²-3k+1＞0；
∵△=（-3）²-16=-7＜0，
∴不等式对一切实数都成立，∴k≥$\frac{1}{2}$；
②当1-2k＞0时，解得k＜$\frac{1}{2}$；
存在x∈[1，+∞），使得f（x-2k）-k＜0，
即只要f（1-2k）-k＜0即可；
∵1-2k＞0，∴f（1-2k）=（1-2k）²，
∴（1-2k）²-k＜0，整理得4k²-5k+1＜0，解得$\frac{1}{4}$＜k＜1；
又∵k＜$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{4}$＜k＜$\frac{1}{2}$；
综上，k∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）∪[$\frac{1}{2}$，+∞）=（$\frac{1}{4}$+∞）；
∴k的取值范围是k∈（$\frac{1}{4}$，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想与转化思想的应用问题，是难题．