Question

设{a_n}是一个公差为d（d≠0）的等差数列，它的前10项和S₁₀=110，且a₁，a₂，a₄成等比数列
（1）证明：a₁=d；
（2）求公差d的值和数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}满足b_n=

4

anan+1

，求{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知可得a₂²=a₁•a₄，代入等差数列的通项可转化为（a₁+d）²=a₁•（a₁+3d），整理可得a₁=d；
（2）结合（1）由条件S₁₀=110，求出d=2，即可求出数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}满足b_n=

4

anan+1

，可得通项，再求{b_n}的前n项和．

解答： （1）证明：因a₁，a₂，a₄成等比数列，故a₂²=a₁a₄
而{a_n}是等差数列，有a₂=a₁+d，a₄=a₁+3d
于是（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）
即a₁²+2a₁d+d²=a₁²+3a₁d
化简得a₁=d
（2）解：由条件S₁₀=110，得到10a₁+45d=110
由（1），a₁=d，代入上式得55d=110
故d=2，a_n=a₁+（n-1）d=2n
因此，数列{a_n}的通项公式为a_n=2n；
（3）解：b_n=

4

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴{b_n}的前n项和为1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本小题主要考查等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式以及等比中项等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．