Question

已知S_n是等差数列{a_n}（n∈N^*）的前n项和，且S₆＞S₇＞S₅，有下列五个命题：
①d＜0；
②S₁₁＞0；
③S₁₂＜0；
④数列{S_n}中的最大项为S₁₁；
⑤|a₆|＞|a₇|．
其中正确的命题是

 

（写出你认为正确的所有命题的序号）

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：先由条件确定第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，再将S₁₁，S₁₂由第六项和第七项的正负判定，结合a₆＞0，a₇＜0，且a₆+a₇＞0判断⑤．

解答： 解：由题可知等差数列为a_n=a₁+（n-1）d，
由s₆＞s₇有s₆-s₇＞0，即a₇＜0，
由s₆＞s₅同理可知a₆＞0，
则a₁+6d＜0，a₁+5d＞0，
由此可知d＜0 且-5d＜a₁＜-6d．
∵Sn=na1+

n(n-1)d

2

，
∴s₁₁=11a₁+55d=11（a₁+5d）＞0，
s₁₂=12a₁+66d=12（a₁+a₁₂）=12（a₆+a₇），
∵S₇＞S₅，∴S₇-S₅=a₆+a₇＞0，
∴s₁₂＞0．
由a₆＞0，a₇＜0，且a₆+a₇＞0，
可知|a₆|＞|a₇|．
即①②⑤是正确的，③④是错误的．
故答案为：①、②、⑤．

点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．